Lagi : Cara Menghitung Akar Kuadrat

Jika pada postingan yang lalu, sudah disampaikan beberapa cara mencari akar kaudrat, maka pada kesempatan kali ini akan disampaikan satu cara lagi yang diambil dari  Bakhsalis Manuscrit yang merupakan sub judul buku David Darling dengan judul The Universal Book of Mathematics

Hasil dari perhitungan akar kuadrat dengan menggunakan rumus ini sangat mendekati dengan hasil sebenarnya.

Rumusnya adalah sebagai berikut :

Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N
Dan b adalah


Misalnya untuk menghitung , maka kita pilih sehingga sangat mendekati 13. Sehingga, , maka





Nilai yang sebenarnya adalah


Berikut ini adalah beberapa nilai untuk sampai dengan

		Menggunakan Rumus
1	1	1
2	1,414213562	1,416666667
3	1,732050808	1,75
4	2	2
5	2,236067977	2,236111111
6	2,449489743	2,45
7	2,645751311	2,647727273
8	2,828427125	2,833333333
9	3	3
10	3,16227766	3,162280702
11	3,31662479	3,316666667
12	3,464101615	3,464285714
13	3,605551275	3,606060606
14	3,741657387	3,742753623
15	3,872983346	3,875
16	4	4
17	4,123105626	4,123106061
18	4,242640687	4,242647059
19	4,358898944	4,358928571
20	4,472135955	4,472222222
21	4,582575695	4,58277027
22	4,69041576	4,690789474
23	4,795831523	4,796474359
24	4,898979486	4,9
25	5	5
26	5,099019514	5,099019608
27	5,196152423	5,196153846
28	5,291502622	5,291509434
29	5,385164807	5,385185185
30	5,477225575	5,477272727
31	5,567764363	5,567857143
32	5,656854249	5,657017544
33	5,744562647	5,744827586
34	5,830951895	5,831355932
35	5,916079783	5,916666667
36	6	6
37	6,08276253	6,082762557
38	6,164414003	6,164414414
39	6,244997998	6,245
40	6,32455532	6,324561404
41	6,403124237	6,403138528
42	6,480740698	6,480769231
43	6,557438524	6,557489451
44	6,633249581	6,633333333
45	6,708203932	6,708333333
46	6,782329983	6,782520325
47	6,8556546	6,855923695
48	6,92820323	6,928571429
49	7	7
50	7,071067812	7,071067821
51	7,141428429	7,141428571
52	7,211102551	7,211103253
53	7,280109889	7,280112045
54	7,348469228	7,348474341
55	7,416198487	7,416208791
56	7,483314774	7,483333333
57	7,549834435	7,549865229
58	7,615773106	7,615821095
59	7,681145748	7,681216931
60	7,745966692	7,746068152
61	7,810249676	7,81038961
62	7,874007874	7,874195624
63	7,937253933	7,9375
64	8	8
65	8,062257748	8,062257752
66	8,124038405	8,124038462
67	8,185352772	8,185353053
68	8,246211251	8,246212121
69	8,306623863	8,30662594
70	8,366600265	8,366604478
71	8,426149773	8,426157407
72	8,485281374	8,485294118
73	8,544003745	8,544023723
74	8,602325267	8,602355072
75	8,660254038	8,660296763
76	8,717797887	8,717857143
77	8,774964387	8,775044326
78	8,831760866	8,831866197
79	8,888194417	8,88833042
80	8,94427191	8,944444444
81	9	9
82	9,055385138	9,05538514
83	9,110433579	9,110433604
84	9,16515139	9,165151515
85	9,219544457	9,219544846
86	9,273618495	9,273619428
87	9,327379053	9,327380952
88	9,38083152	9,380834977
89	9,433981132	9,433986928
90	9,486832981	9,486842105
91	9,539392014	9,539405685
92	9,591663047	9,591682723
93	9,643650761	9,643678161
94	9,695359715	9,695396825
95	9,746794345	9,746843434
96	9,797958971	9,798022599
97	9,848857802	9,848938826
98	9,899494937	9,899596524
99	9,949874371	9,95

Selisih terbesarnya ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,017949192
Selisih terbesar kedua ada pada , yaitu mempunyai selisih 0,004906209


Jika diperhatikan, dengan menggunakan rumus tersebut. Nilai dari mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari . Begitu juga untuk dengan . Begitu juga dibandingkan dengan .


Jika yang kita hitung adalah yang kurang dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna, maka tingkat ketelitiannya kurang bagus. Berbeda dengan jika yang kita hitung adalah yang lebih besar dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna. Tingkat ketelitiannya sangatlah bagus.


Untuk menyiasati hal ini, kami mencoba untuk mengambil kasus jika nilai melebihi dari nilai N tetapi masih sangat dekat dengan N, tentu nilai b akan negatif.
Beberapa tabelnya untuk N mulai dari 81 sampai 100 adalah sebagai berikut :

		Rumus untuk b negatif
81	9	9,000138122
82	9,055385138	9,055494505
83	9,110433579	9,110519126
84	9,16515139	9,165217391
85	9,219544457	9,219594595
86	9,273618495	9,273655914
87	9,327379053	9,327406417
88	9,38083152	9,380851064
89	9,433981132	9,433994709
90	9,486832981	9,486842105
91	9,539392014	9,539397906
92	9,591663047	9,591666667
93	9,643650761	9,64365285
94	9,695359715	9,695360825
95	9,746794345	9,746794872
96	9,797958971	9,797959184
97	9,848857802	9,848857868
98	9,899494937	9,899494949
99	9,949874371	9,949874372
100	10	10,00010284

Dapat kita lihat bahwa Nilai dari mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari
Dan nilai dari suatu kuadrat sempurna itu sendiri jadi tidak sama dengan nilai yang sebenarnya.

Dapat disimpulkan di sini! Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.
Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati.
Begitu juga sebaliknya.


Intinya! Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai sangat dekat dengan N
Semoga bermanfaat....

Penyebab Kegagalan Pembelajaran Matematika

Kita sadari bersama bahwaP sejauh inie prestasi siswa dalam belajar matematika memang masih rendah. Dari beberapa laporan menyebutkan, faktor penyebabnya antara lain adalah masih kurangnya kualitas materi pembelajaran, metode pembelajaran yang mekanistik, model pembelajaran yang monoton maupun sulitnya konsep- konsep matematika untuk dipahami.

Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif. Yakni kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya. Sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten.

Namun demikian, pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata. Dengan demikian, cara belajar induktif dan deduktif dapat digunakan dan sama pentingnya.

Salah satu penyebab kegagalan dalam pembelajaran matematika adalah siswa kurang paham konsep-konsep matematika atau siswa salah dalam memahami konsep-konsep matematika. Siswa yang menguasai konsep matematika, dengan mudah memecahkan soal-soal matematika.

Sering kita temui dalam kegiatan pembelajaran, siswa salah dalam memahami konsep matematika, sehingga salah dalam menyelesaikan soal-soal matematika.Kesalahan konsep yang dialami siswa sebagian besar dibawa dari jenjang pendidikan sebelumnya.

Kesalahan konsep suatu pengetahuan saat disampaikan kepada salah satu jenjang pendidikan, bisa berakibat kesalahan pengertian dasar yang berkesinambungan hingga ketingkat pendidikan yang lebih tinggi. Ini karena matematika adalah materi pembelajaran yang saling berkaitan dan berkesinambungan(Continue),sehingga untuk mempelajari salah satu topik di tingkat lanjutan harus memiliki pengetahuan dasar atau pengetahuan prasyarat terlebih dahulu.

Tulisan ini mencoba mengurai beberapa kemungkinan penyebab terjadinya kesalahan konsep dalam pembelajaran matematika. Selain itu, juga memberi alternatif pemecahan agar kesalahan memahami konsep tidak terjadi.

Secara garis besar, matematika memiliki beberapa cabang ilmu di antaranya adalah Aljabar, Geometri, Aritmatika dan Statistika. Setiap cabang memiliki beberapa disiplin ilmu tersendiri. Jika seorang siswa mempelajari Aljabar, maka ia harus menguasai terlebih dahulu pokok bahasan bilangan beserta operasi hitungnya.

Jika seorang siswa SMA ingin mempelajari Program Linear, ia harus menguasai Fungsi Linier beserta pertidaksamaannya, menguasai sistem persamaan linier, baik dengan satu variabel maupun dengan dua variabel dan sebagainya.

Setelah mengetahui hubungan pokok pokok bahasan dalam mata pelajaran matematika, siswa dengan mudah mempelajari pokok bahasan lain yang lebih tinggi. Akhirnya, siswa tidak akan kesulitan memahami atau menerima pokok bahasan baru. Yang tragis adalah bila kesalahan penanaman konsep dari suatu pokok bahasan terjadi pada jenjang pendidikan yang lebih rendah. Jika itu terjadi, bisa dipastikan seorang siswa akan memperoleh pengertian-pengertian yang salah dan berkelanjutan.

Sebagai ilustrasi, kesalahan konsep dapat dilihat dari beberapa kasus berikut:

Dalam operasi hitung sederhana :

8 + 4 X 5 = 60 yang benar 8 + 4 X 5 = 28

Dalam penyelesaian operasi Aljabar :

5 + 3x = 20 5x = 20 x = 4 yang benar 2 + 3x = 20 3x = 18 x = 6

Dua ilustrasi di atas merupakan kesalahan konsep yang sering kita jumpai. Sederhana, tapi akan berakibat fatal.

Kesalahan konsep dalam pembelajaran matematika dapat terjadi dari dua pihak, yakni guru maupun siswa. Kesalahan dari pihak guru antara lain, guru matematika bukan guru mata pelajaran melainkan guru kelas, tidak berlatar belakang pendidikan matematika, kurang menguasai inti materi dari pokok bahasan yang diajarkan, kurang mengetahui atau menguasai materi-materi.

Kemungkinan kesalahan konsep yang disebabkan oleh siswa antara lain, siswa salah menerima terhadap pengertian dasar atau konsep dari suatu pokok bahasan yang disajikan oleh guru., kurang berminat terhadap pelajaran matematika, cenderung hanya menghafal, tidak berusaha memahami rumus-rumus maupun con toh penyelesaian soal yang ada, bawaan siswa itu sendiri baik dari sekolah ataupun dari kelas sebelumnya.

Untuk menghindari kesalahan konsep yang disebabkan dari pihak guru maupun siswa, berikut ini beberapa alternatif pemecahannya dari dua pihak secara bersamaan. Pertama, usahakan guru matematika adalah guru mata pelajaran bukan guru kelas untuk semua jenjang pendidikan. Ini banyak dijumpai pada sekolah-sekolah tingkat SD atau MI yang menggunakan pola guru kelas.

Kedua, penguasaan inti materi dari tiap-tiap pokok bahasan matematika perlu dimiliki oleh para guru matematika. Hal ini dimaksudkan agar dalam menyajikan materi, guru dapat membedakan antara materi pokok dengan materi tambahan atau materi penunjang. Dengan demikian, tidak terjadi pengulangan materi yang bisa membuat siswa bingung.

Ketiga, perlu memotivasi siswa dalam belajar matematika untuk menghindari siswa dari kesalahan konsep. Jika siswa belajar giat dan penuh gairah, ia akan berusaha memahami dengan sungguh-sungguh dan mengembangkannya melalui latihan menyelesaikan soal-soal yang bervariasi.

(dikutip dari Republika online, Kolom Guru Menulis, oleh : Nurul Karimah Guru SMP Negeri 5 Temanggung)

LJK UAN SMP/MTs

LJK UAN SMP/MTs

Agar peserta didik tidak mengalami kekeliruan saat mengisi LJK pada saat pelaksanaan UAN SMP/ MTs yang segera kita laksanakan bersama, ada baiknya jika mereka sering berlatih untuk mengisi LJK tersebut, agar mereka semakin siap dalam menghadapi UAN, untuk itu pada kesempatan kali ini kami menyiapkan contoh LJK UAN 2012 yang kami ambil dari situs SIMDIK.INFO, silakan di unduh, digandakan secukupnya dan digunakan untuk berlatih mengisi LJK dan semoga bermanfaat...


Contoh LJK bisa di download disini

Berbagai cara menghitung akar kuadrat

Berbagai cara menghitung akar kuadrat

Mari kita coba pelajari berbagai macam cara menghitung akar kuadrat.
1. Cara coba-coba. Ini adalah cara paling umum untuk menyelesaikan hitungan akar kuadrat. Cara ini sangat cocok bagi anak-anak, kita, yang telah lancar menghitung kuadrat atau perkalian.
Misal kita akan menghitung akar (kuadrat) dari 64.

Maka kita coba 5×5 = 25 (terlalu kecil).
Coba 9×9 = 81 (terlalu besar).
Coba 7×7 = 49 (terlalu kecil).
Coba 8×8 = 64 (betul).
Jadi kita peroleh akar 64 adalah 8.

2. Cara faktorisasi. Cara ini cukup menarik dan taktis.
Misal, berpakah akar dari 64?
Maka 64 = 2×32 = 2x2x16 = 4×16
Maka
akar 64 = akar 4 x akar 16
= 2 x 4
= 8 

Cara faktorisasi ini sangat berguna sampai pelajaran matematika tingkat tinggi. Ketika duduk di bangku SMA, kita sering menggunakan cara faktorisasi. Ketika kuliah kalkulus, kita juga sering menggunakan cara faktorisasi.
Misal, berapa akar dari 72?
Maka :    72 = 9×8 = 9x4x2
Jadi akar 72 = 3x2x akar 2
= 6akar2 = 6√2.

3. Cara pendekatan. Cara ini adalah variasi dan lanjutan dari cara coba-coba. Setelah berlatih beberapa kali, kita akan sangat mahir dengan cara ini. Cara pendekatan ini sangat dahsyat untuk menghitung akar yang nilainya cukup besar.
Misal, berapakah akar dari 1681?
Pendekatan paling masuk akal adalah 40×40 = 1600.
Karena satuan dari 1681 adalah 1 maka satuan dari akarnya tentu 1 atau 9. Dalam hal ini kita memilh 1. (Mengapa?).
Jadi kita peroleh jawaban 40+1 = 41
Misal, berapakah akar dari 3364?
Pendekatan paling masuk akal adalah 50×50 = 2500.
(sedangkan 60×60 = 3600, terlalu besar).
Karena satuan dari 3364 adalah 4 maka satuan dari akarnya adalah 2 atau 8. Dalam hal ini kita memilih 8. (Mengapa?)
Jadi kita peroleh jawaban 50+8 = 58.

Pembahasan Soal Olimpiade PASIAD

Pembahasan Soal Olimpiade PASIAD

Dalam rangka menghadapi Olimpiade MGMP SMP Kabupaten Tulungagung, khusus bidang studi Matematika kami menyiapkan PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL TINGKAT SMP KOMPETISI MATEMATIKA PASIAD SE-INDONESIA VIII TH 2012 sebagai sarana untuk latihan.

Soal ini terdiri dari dua bagian yaitu soal pilihan ganda dan soal uraian. Untuk soal pilihan ganda terdiri dari 50 item soal, sedangkan soal uraian terdiri dari 1 item soal.
Menurut pembuat soal, aturan penilaiannya adalah untuk bentuk pilihan ganda, jika benar mendapat 1 poin, kosong 0 poin, dan salah -0,25 poin. Adapun untuk bentuk soal uraian nilainya akan diperhitungkan hanya untuk peserta 5 besar nasional. Jika tidak ada perolehan nilai yang sama pada 5 besar nasional maka skor peserta hanya dilihat berdasarkan soal bentuk pilihan ganda.
Untuk menjawab soal pilihan ganda memang terkadang perlu strategi sederhana misalnya Trial and Error (coba-coba).
Sebagai contoh kita tinggal mensubtitusikan pilihan(option) yang ada ke dalam variabel persamaan yang diketahui. Strategi ini sering kali cukup jitu untuk menghemat waktu pengerjaan. Strategi semacam ini penulis serahkan pada pembaca untuk mencoba dan memikirkannya.



File bisa di download disini atau disini ( MF )